与えられた2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{9}{10^k}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{9}{10^k}$

2. 解き方の手順

(1) これは等比数列の和の極限です。$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k}$ は、初項1、公比$\frac{1}{2}$の等比数列の初項から第(n+1)項までの和です。

等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

ここで、$a=1$, $r=\frac{1}{2}$ なので、

$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k} = \frac{1(1-(\frac{1}{2})^{n+1})}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{\frac{1}{2}} = 2(1-(\frac{1}{2})^{n+1})$

$n \to \infty$ のとき、$(\frac{1}{2})^{n+1} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k} = 2(1-0) = 2$

(2) こちらも等比数列の和の極限です。$\sum_{k=0}^{n} \frac{9}{10^k}$ は、初項9、公比$\frac{1}{10}$の等比数列の初項から第(n+1)項までの和です。

等比数列の和の公式は、$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

ここで、$a=9$, $r=\frac{1}{10}$ なので、

$\sum_{k=0}^{n} \frac{9}{10^k} = \frac{9(1-(\frac{1}{10})^{n+1})}{1-\frac{1}{10}} = \frac{9(1-(\frac{1}{10})^{n+1})}{\frac{9}{10}} = 10(1-(\frac{1}{10})^{n+1})$

$n \to \infty$ のとき、$(\frac{1}{10})^{n+1} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{9}{10^k} = 10(1-0) = 10$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 10