与えられた積分、微分、関数方程式に関する問題を解き、空欄を埋める問題です。具体的には以下の5つの問題があります。 (1) $\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{A}x^{\frac{3}{4}} + C$におけるAを求める。 (2) $f'(x) = 4x - 5$, $f(-2) = -2$ のとき、$f(x) = Bx^2 - Cx - D$ におけるB, C, Dを求める。 (3) $\int_{-3}^{1}(5x+4)dx + \int_{1}^{-3}(5x+4)dx = E$におけるEを求める。 (4) $\int_{-2}^{3}(3x^2 + \frac{2}{5}x - 4)dx = F$におけるFを求める。 (5) $f(x) = 3x + \int_{-1}^{1}tf(t)dt$を満たす関数$f(x) = Gx + H$におけるG, Hを求める。

1. 問題の内容

与えられた積分、微分、関数方程式に関する問題を解き、空欄を埋める問題です。具体的には以下の5つの問題があります。

(1) $\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{A}x^{\frac{3}{4}} + C$におけるAを求める。

(2) $f'(x) = 4x - 5$, $f(-2) = -2$ のとき、$f(x) = Bx^2 - Cx - D$ におけるB, C, Dを求める。

(3) $\int_{-3}^{1}(5x+4)dx + \int_{1}^{-3}(5x+4)dx = E$におけるEを求める。

(4) $\int_{-2}^{3}(3x^2 + \frac{2}{5}x - 4)dx = F$におけるFを求める。

(5) $f(x) = 3x + \int_{-1}^{1}tf(t)dt$を満たす関数$f(x) = Gx + H$におけるG, Hを求める。

2. 解き方の手順

(1) 指数関数の積分を行う。$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を利用する。

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

よって、$\frac{1}{A} = \frac{2}{3}$ より $A = \frac{3}{2}$

(2) $f'(x)$を積分して$f(x)$を求める。積分定数を初期条件$f(-2) = -2$を用いて決定する。

$f(x) = \int f'(x) dx = \int (4x - 5) dx = 2x^2 - 5x + K$

$f(-2) = 2(-2)^2 - 5(-2) + K = 8 + 10 + K = 18 + K = -2$

$K = -20$

よって、$f(x) = 2x^2 - 5x - 20$

(3) $\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$の関係を利用する。

$\int_{-3}^{1}(5x+4)dx + \int_{1}^{-3}(5x+4)dx = \int_{-3}^{1}(5x+4)dx - \int_{-3}^{1}(5x+4)dx = 0$

(4) 定積分を計算する。

$\int_{-2}^{3}(3x^2 + \frac{2}{5}x - 4)dx = [x^3 + \frac{1}{5}x^2 - 4x]_{-2}^{3}$

$= (3^3 + \frac{1}{5}(3^2) - 4(3)) - ((-2)^3 + \frac{1}{5}(-2)^2 - 4(-2))$

$= (27 + \frac{9}{5} - 12) - (-8 + \frac{4}{5} + 8)$

$= 15 + \frac{9}{5} - \frac{4}{5} = 15 + \frac{5}{5} = 15 + 1 = 16$

(5) $f(x) = 3x + \int_{-1}^{1}tf(t)dt$ を $f(x) = Gx + H$ と置く。

$f(t) = Gt + H$を積分に代入する。

$\int_{-1}^{1}t(Gt + H)dt = \int_{-1}^{1}(Gt^2 + Ht)dt = [\frac{1}{3}Gt^3 + \frac{1}{2}Ht^2]_{-1}^{1}$

$= (\frac{1}{3}G + \frac{1}{2}H) - (-\frac{1}{3}G + \frac{1}{2}H) = \frac{2}{3}G$

よって、$f(x) = 3x + \frac{2}{3}G$

$f(x) = Gx + H$より、$Gx + H = 3x + \frac{2}{3}G$

$G = 3$, $H = \frac{2}{3}G = \frac{2}{3}(3) = 2$

$f(x) = 3x + 2$

3. 最終的な答え

(1) 3/2

(2) 2, 5, 20

(3) 0

(4) 16

(5) 3, 2