関数 $f(x) = (\log|x^2 - 2|)^2$ について、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (\log|x^2 - 2|)^2$ について、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分します。

$f(x) = (\log|x^2 - 2|)^2$ なので、合成関数の微分法を用いると、

$$f'(x) = 2(\log|x^2 - 2|) \cdot \frac{1}{|x^2 - 2|} \cdot \frac{2x(x^2 - 2)}{|x^2 - 2|}$$

絶対値記号を考慮して場合分けします。

(1) $x^2 - 2 > 0$ のとき、つまり $|x| > \sqrt{2}$ のとき、$|x^2 - 2| = x^2 - 2$ より

$$f'(x) = 2\log(x^2 - 2) \cdot \frac{1}{x^2 - 2} \cdot 2x = \frac{4x\log(x^2 - 2)}{x^2 - 2}$$

(2) $x^2 - 2 < 0$ のとき、つまり $|x| < \sqrt{2}$ のとき、$|x^2 - 2| = -(x^2 - 2) = 2 - x^2$ より

$$f'(x) = 2\log(2 - x^2) \cdot \frac{1}{2 - x^2} \cdot (-2x) = \frac{-4x\log(2 - x^2)}{2 - x^2} = \frac{4x\log(2 - x^2)}{x^2 - 2}$$

いずれの場合も、$f'(x) = 0$ となるのは、

$x = 0$ または $\log|x^2 - 2| = 0$ のときです。

$x = 0$ は $|x| < \sqrt{2}$ の場合に該当します。

$\log|x^2 - 2| = 0$ のとき、$|x^2 - 2| = 1$ となります。

したがって、$x^2 - 2 = 1$ または $x^2 - 2 = -1$ です。

$x^2 - 2 = 1$ のとき、$x^2 = 3$ より $x = \pm\sqrt{3}$

$x^2 - 2 = -1$ のとき、$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$

これらをまとめると、$x = 0, \pm 1, \pm\sqrt{3}$

しかしながら、$\log|x^2-2|$の定義域を考慮すると、$x^2-2 \neq 0$より、$x\neq \pm \sqrt{2}$

以上の結果から、$f'(x)=0$の解は、$0, \pm 1, \pm \sqrt{3}$となります。

選択肢の中から適切なものを選ぶ必要があります。

$x=0$は$f'(x)$を求める際の計算に含まれていないので、$x=0$は解ではありません。

$\log(x^2-2)=0$より、$x^2-2=1$となるので、$x^2=3$より、$x = \pm \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\pm \sqrt{3}$