空欄（問1から問10）に当てはまる適切な数字または選択肢を答える問題です。

1. 問題の内容

空欄（問1から問10）に当てはまる適切な数字または選択肢を答える問題です。

2. 解き方の手順

問1, 問2：$y = e^{\alpha x}$ が $y'' - 4y' - 21y = 0$ を満たすときの定数 $\alpha$ の値を求めます。

$y' = \alpha e^{\alpha x}$

$y'' = \alpha^2 e^{\alpha x}$

これらを元の式に代入すると、

$\alpha^2 e^{\alpha x} - 4 \alpha e^{\alpha x} - 21 e^{\alpha x} = 0$

$e^{\alpha x} (\alpha^2 - 4\alpha - 21) = 0$

$e^{\alpha x} > 0$ なので、$\alpha^2 - 4\alpha - 21 = 0$

$(\alpha - 7)(\alpha + 3) = 0$

$\alpha = 7, -3$

問1: 7

問2: -3

問3：$f(x) = (\log|x^2 - 2|)^2$ について、$f'(x) = 0$ の解を求めます。

$f'(x) = 2 (\log|x^2 - 2|) \cdot \frac{1}{x^2 - 2} \cdot 2x = \frac{4x \log|x^2 - 2|}{x^2 - 2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x=0$ または $\log|x^2 - 2| = 0$ のとき。

$\log|x^2 - 2| = 0$ より $|x^2 - 2| = 1$

$x^2 - 2 = 1$ または $x^2 - 2 = -1$

$x^2 = 3$ または $x^2 = 1$

$x = \pm \sqrt{3}$ または $x = \pm 1$

$x=0, \pm 1, \pm \sqrt{3}$

選択肢から、$x=0$ は 問3

$x=\pm 1$ は 問4

$x=\pm \sqrt{3}$は 問5

問3：$y = e^{-3x}$ の接線で原点(0,0)を通るものを求めます。

$y' = -3e^{-3x}$

接点を $(t, e^{-3t})$ とすると、接線の方程式は

$y - e^{-3t} = -3e^{-3t}(x - t)$

この接線が原点(0,0)を通るので、

$0 - e^{-3t} = -3e^{-3t}(0 - t)$

$-e^{-3t} = 3te^{-3t}$

$e^{-3t} \neq 0$ なので、 $-1 = 3t$

$t = -\frac{1}{3}$

接線の方程式は、$y = -3 e^{-3(-\frac{1}{3})} x = -3ex$

従って、問6は3

問4：$y = \log(\sqrt{7x})$ の接線で原点(0,0)を通るものを求めます。

$y = \log(\sqrt{7x}) = \frac{1}{2} \log(7x)$

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7x} \cdot 7 = \frac{1}{2x}$

接点を $(t, \frac{1}{2}\log(7t))$ とすると、接線の方程式は

$y - \frac{1}{2}\log(7t) = \frac{1}{2t}(x - t)$

この接線が原点(0,0)を通るので、

$0 - \frac{1}{2}\log(7t) = \frac{1}{2t}(0 - t)$

$-\frac{1}{2}\log(7t) = -\frac{1}{2}$

$\log(7t) = 1$

$7t = e$

$t = \frac{e}{7}$

接線の方程式は、$y = \frac{1}{2 (\frac{e}{7})}x = \frac{7}{2e} x$

従って、問7は$\frac{7}{2}$

問5：$y = \sqrt{e} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$ のグラフの変曲点を求めます。

$y = e^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2}$

$y' = -xe^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2}$

$y'' = -e^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2} + x^2 e^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2} = (x^2 - 1)e^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2}$

$y'' = 0$ となるのは、$x^2 - 1 = 0$ のとき。

$x = \pm 1$

変曲点は$(\pm 1, 1)$

従って、問8は0

問6：$y = \sqrt{e} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$ のグラフが単調減少である$x$の範囲を求めます。

$y' = -xe^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2}$

$y' < 0$ となるのは、$x > 0$ のとき。

従って、問9は9

問7：$y = \sqrt{e} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}$ のグラフが上に凸で、単調増加である$x$の範囲を求めます。

上に凸は $y'' < 0$

$y'' = (x^2 - 1)e^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2}$

$y'' < 0$ となるのは、$x^2 - 1 < 0$ のとき。

$-1 < x < 1$

単調増加は $y' > 0$

$y' = -xe^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2}$

$y' > 0$ となるのは、$x < 0$ のとき。

$-1 < x < 0$

従って、問10は4

3. 最終的な答え

問1: 7

問2: -3

問3: 0

問4: 1

問5: 5

問6: 3

問7: 7/2

問8: 0

問9: 9

問10: 4