与えられた定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x-1}{x^2-2x+2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x-1}{x^2-2x+2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を平方完成します。

$x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1$

すると、積分は以下のようになります。

$\int_{1}^{2} \frac{x-1}{(x-1)^2+1} dx$

ここで、$u = x-1$ と置換します。すると、$du = dx$ となり、積分範囲は $x=1$ のとき $u=0$, $x=2$ のとき $u=1$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{u}{u^2+1} du$

ここで、$v = u^2 + 1$ と置換します。すると、$dv = 2u\,du$ となり、$u\,du = \frac{1}{2}dv$ となります。積分範囲は、$u=0$ のとき $v=1$, $u=1$ のとき $v=2$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{v} \cdot \frac{1}{2} dv = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{v} dv$

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{v} dv = \frac{1}{2} [\ln|v|]_{1}^{2} = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1)$

$\ln 1 = 0$ なので、

$\frac{1}{2} \ln 2$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln 2$