サイクロイド $x = a(\theta - \sin\theta)$, $y = a(1 - \cos\theta)$ において、$\theta$が(1) $\theta = \frac{\pi}{3}$, (2) $\theta = \pi$, (3) $\theta = \frac{3}{2}\pi$, (4) $\theta = 2\pi$ をとるときの点の座標を求める問題。ただし、$a=2$である。

1. 問題の内容

サイクロイド $x = a(\theta - \sin\theta)$, $y = a(1 - \cos\theta)$ において、$\theta$が(1) $\theta = \frac{\pi}{3}$, (2) $\theta = \pi$, (3) $\theta = \frac{3}{2}\pi$, (4) $\theta = 2\pi$ をとるときの点の座標を求める問題。ただし、$a=2$である。

2. 解き方の手順

$x$と$y$の式にそれぞれの$\theta$の値を代入して計算する。

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき

$x = 2(\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$

$y = 2(1 - \cos\frac{\pi}{3}) = 2(1 - \frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2}) = 1$

よって、$(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}, 1)$

(2) $\theta = \pi$ のとき

$x = 2(\pi - \sin\pi) = 2(\pi - 0) = 2\pi$

$y = 2(1 - \cos\pi) = 2(1 - (-1)) = 2(2) = 4$

よって、$(2\pi, 4)$

(3) $\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき

$x = 2(\frac{3\pi}{2} - \sin\frac{3\pi}{2}) = 2(\frac{3\pi}{2} - (-1)) = 2(\frac{3\pi}{2} + 1) = 3\pi + 2$

$y = 2(1 - \cos\frac{3\pi}{2}) = 2(1 - 0) = 2(1) = 2$

よって、$(3\pi + 2, 2)$

(4) $\theta = 2\pi$ のとき

$x = 2(2\pi - \sin2\pi) = 2(2\pi - 0) = 4\pi$

$y = 2(1 - \cos2\pi) = 2(1 - 1) = 2(0) = 0$

よって、$(4\pi, 0)$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}, 1)$

(2) $(2\pi, 4)$

(3) $(3\pi + 2, 2)$

(4) $(4\pi, 0)$