定積分 $\int_{-1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、三角関数を使った置換積分で解くことができます。

ステップ1: $x = \sin\theta$ と置換します。このとき、$dx = \cos\theta d\theta$ となります。

積分範囲も変換します。

$x = -1$ のとき、$\sin\theta = -1$ なので、$\theta = -\frac{\pi}{2}$です。

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{3}$です。

ステップ2: 置換した変数で積分を書き換えます。

$\int_{-1}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-\sin^2\theta} \cos\theta d\theta$

$\sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = |\cos\theta|$　であり、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$の範囲では$\cos\theta \geq 0$なので、$\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2\theta d\theta$

ステップ3: $\cos^2\theta$ を半角の公式を使って変形します。

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

ステップ4: 変形した式で積分を計算します。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} (1 + \cos(2\theta)) d\theta$

$\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} (1 + \cos(2\theta)) d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}$

ステップ5: 積分範囲の値を代入します。

$\frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \right) - \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(-\pi) \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{2} - 0 \right]$

$=\frac{1}{2} \left[ \frac{2\pi + 3\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = \frac{5\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}$