$x > 0$のとき、不等式 $x + \frac{8}{x} \ge 4\sqrt{2}$を証明し、等号が成り立つときの$x$の値を求める。

1. 問題の内容

$x > 0$のとき、不等式 $x + \frac{8}{x} \ge 4\sqrt{2}$を証明し、等号が成り立つときの$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用する。$x > 0$ なので、$x$と$\frac{8}{x}$はともに正である。

相加平均・相乗平均の関係より、

$$x + \frac{8}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{8}{x}}$$

$$x + \frac{8}{x} \ge 2\sqrt{8}$$

$$x + \frac{8}{x} \ge 2\sqrt{4 \cdot 2}$$

$$x + \frac{8}{x} \ge 2 \cdot 2\sqrt{2}$$

$$x + \frac{8}{x} \ge 4\sqrt{2}$$

よって、不等式 $x + \frac{8}{x} \ge 4\sqrt{2}$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$x = \frac{8}{x}$ のときである。

$x^2 = 8$

$x = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$

$x > 0$ より、$x = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

不等式 $x + \frac{8}{x} \ge 4\sqrt{2}$ は成り立つ。等号が成り立つのは、$x = 2\sqrt{2}$ のときである。