与えられた5つの数式を計算せよ。それぞれの式は、平方根を含む数や式で構成されている。

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1. 問題の内容

与えられた5つの数式を計算せよ。それぞれの式は、平方根を含む数や式で構成されている。

2. 解き方の手順

(1) $(1 - \sqrt{2})(3 + 4\sqrt{2})$

分配法則を用いて展開する。

$1 * 3 + 1 * 4\sqrt{2} - \sqrt{2} * 3 - \sqrt{2} * 4\sqrt{2} = 3 + 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 8 = -5 + \sqrt{2}$

(2) $(4 + 5\sqrt{3})(4 - \sqrt{3})$

分配法則を用いて展開する。

$4 * 4 - 4 * \sqrt{3} + 5\sqrt{3} * 4 - 5\sqrt{3} * \sqrt{3} = 16 - 4\sqrt{3} + 20\sqrt{3} - 15 = 1 + 16\sqrt{3}$

(3) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$の公式を利用する。

$(\sqrt{5})^2 + 2 * \sqrt{5} * \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$

(4) $(2\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$の公式を利用する。

$(2\sqrt{3})^2 - 2 * 2\sqrt{3} * \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 * 3 - 4\sqrt{6} + 2 = 12 - 4\sqrt{6} + 2 = 14 - 4\sqrt{6}$

(5) $(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})$

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$の公式を利用する。

$(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $-5 + \sqrt{2}$

(2) $1 + 16\sqrt{3}$

(3) $7 + 2\sqrt{10}$

(4) $14 - 4\sqrt{6}$

(5) $4$