与えられた2変数多項式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 - 5x + 5y + 3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 - 5x + 5y + 3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 - (3y + 5)x - (2y^2 - 5y - 3)$

定数項を因数分解します。

$2y^2 - 5y - 3 = (2y + 1)(y - 3)$

与式は

$2x^2 - (3y + 5)x - (2y + 1)(y - 3)$

と書けます。

たすき掛けを考えます。

```

2 (y - 3) 2y - 6

1 - (2y + 1) -2y - 1

---------------------

-7 (これは3y+5にならない)

```

```

2 -(y - 3) -y + 3

1 (2y + 1) 2y + 1

---------------------

y + 4 (これは3y+5にならない)

```

符号を変えます。

```

2 (y - 3) 2y - 6

1 (2y + 1) 2y + 1

---------------------

4y - 5

```

これは違います。

もう一度、最初の整理の仕方を見直します。

与式を $x$ について整理すると、

$2x^2 - (3y + 5)x - (2y^2 - 5y - 3)$

定数項を因数分解すると、

$2y^2 - 5y - 3 = (y - 3)(2y + 1)$

$2x^2 - (3y + 5)x - (y - 3)(2y + 1)$

ここで、たすき掛けを試みます。

```

2 (y - 3) 2y - 6

1 -(2y + 1) -2y - 1

-----------------------------

-7

```

```

2 -(y - 3) -2y + 6

1 (2y + 1) 2y + 1

-----------------------------

7

```

$2x^2 - (3y+5)x - (2y+1)(y-3)$

=(2x + A)(x + B)の形になると仮定します。

ここで、AB = -(2y+1)(y-3), A+2B = -(3y+5) となります。

A = y-3, B = -2y-1 のとき、A+2B = (y-3) + 2(-2y-1) = y-3 -4y - 2 = -3y-5

A = -(y-3), B = 2y+1 のとき、A+2B = -(y-3) + 2(2y+1) = -y+3 + 4y+2 = 3y+5

したがって、

$(2x - (y - 3))(x + (2y + 1)) = (2x - y + 3)(x + 2y + 1)$

となります。

3. 最終的な答え

$(2x - y + 3)(x + 2y + 1)$