次の絶対値を含む方程式と不等式を解きます。 (1) $|x-3|=5x$ (2) $|x+2|>3x$

1. 問題の内容

次の絶対値を含む方程式と不等式を解きます。

(1) $|x-3|=5x$

(2) $|x+2|>3x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3|=5x$

絶対値の定義より、場合分けをして考えます。

(i) $x-3 \geq 0$、つまり $x \geq 3$ のとき

$|x-3|=x-3$ となるので、$x-3 = 5x$ を解きます。

$x-3 = 5x$

$-4x = 3$

$x = -\frac{3}{4}$

しかし、$x \geq 3$ という条件に反するので、この場合は解なしです。

(ii) $x-3 < 0$、つまり $x < 3$ のとき

$|x-3|=-(x-3)=-x+3$ となるので、$-x+3 = 5x$ を解きます。

$-x+3 = 5x$

$6x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

$x < 3$ という条件を満たすので、$x = \frac{1}{2}$ は解です。

さらに、$|x-3|=5x$ より、右辺が負になることはないので、$5x \geq 0$、つまり、$x \geq 0$ である必要があります。

上記の解、$x = \frac{1}{2}$ は、$x \geq 0$ を満たします。

(2) $|x+2|>3x$

絶対値の定義より、場合分けをして考えます。

(i) $x+2 \geq 0$、つまり $x \geq -2$ のとき

$|x+2|=x+2$ となるので、$x+2>3x$ を解きます。

$x+2>3x$

$2 > 2x$

$1 > x$

$x < 1$

$x \geq -2$ と $x < 1$ を両方満たす必要があるため、$-2 \leq x < 1$

(ii) $x+2 < 0$、つまり $x < -2$ のとき

$|x+2|=-(x+2)=-x-2$ となるので、$-x-2>3x$ を解きます。

$-x-2>3x$

$-2 > 4x$

$-\frac{1}{2} > x$

$x < -\frac{1}{2}$

$x < -2$ と $x < -\frac{1}{2}$ を両方満たす必要があるため、$x < -2$

(i), (ii) より、$x < 1$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x < 1$