与えられた2変数多項式 $x^2 - 5xy + 6y^2 + 3x - 7y + 2$ を因数分解します。

## 問題(2)

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $x^2 - 5xy + 6y^2 + 3x - 7y + 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての2次式として整理します。

$x^2 + (3-5y)x + (6y^2 - 7y + 2)$

次に、定数項である$6y^2 - 7y + 2$を因数分解します。

$6y^2 - 7y + 2 = (2y-1)(3y-2)$

ここで、$x^2 + (3-5y)x + (2y-1)(3y-2)$が因数分解できると仮定し、

$(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になると考えます。

展開すると $x^2 + (a+c)xy + ac y^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$ となります。

$a+c = -5$, $ac = 6$, $b+d = 3$, $ad+bc = -7$, $bd = 2$ となるような $a, b, c, d$ を探します。

$(2y-1)$と$(3y-2)$の係数に注目すると、$2+3 = 5$なので、

$(x + a y + b)(x + c y + d) = (x - 2y + m)(x - 3y + n)$ の形になると予想できます。

$(x-2y+m)(x-3y+n) = x^2 -5xy + 6y^2 + (m+n)x + (-3m-2n)y + mn$

よって、$m+n = 3$かつ$-3m-2n=-7$かつ$mn=2$を満たす必要があります。

$-3m-2n=-7$より、$3m+2n = 7$

$n = 3 - m$を代入すると、$3m + 2(3-m) = 7$

$3m + 6 - 2m = 7$

$m = 1$

$n = 3 - m = 3 - 1 = 2$

$mn = 1 * 2 = 2$なので、条件を満たします。

したがって、$x^2 - 5xy + 6y^2 + 3x - 7y + 2 = (x - 2y + 1)(x - 3y + 2)$

3. 最終的な答え

$(x - 2y + 1)(x - 3y + 2)$

## 問題(3)

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $2x^2 + 3xy + y^2 + x + 2y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての2次式として整理します。

$2x^2 + (3y+1)x + (y^2 + 2y - 3)$

次に、定数項である$y^2 + 2y - 3$を因数分解します。

$y^2 + 2y - 3 = (y+3)(y-1)$

ここで、$2x^2 + (3y+1)x + (y+3)(y-1)$が因数分解できると仮定し、

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると考えます。

$ad=2$となる組み合わせを考えます。 ($a=2, d=1$)

$(2x + my + p)(x + ny + q)$ の形になると予想します。

展開すると $2x^2 + (2n+m)xy + mny^2 + (2q+p)x + (mq+np)y + pq$ となります。

$2n+m=3$, $mn=1$, $2q+p=1$, $mq+np=2$, $pq=-3$ を満たす必要があります。

$mn=1$より、$m=1, n=1$ または $m=-1, n=-1$が考えられます。

$2n+m=3$なので、$2(1)+m=3$、$m=1$。よって、$m=1, n=1$。

$(2x + y + p)(x + y + q)$

$pq = -3$ より、$(p, q)$ の候補は $(1, -3)$, $(-1, 3)$, $(3, -1)$, $(-3, 1)$。

$2q+p=1$より、$p=1-2q$。

$mq+np=2$より、$q+p=2$。

$q+(1-2q)=2$

$1-q=2$

$q=-1$

$p=1-2q = 1-2(-1) = 1+2 = 3$

よって、$(2x + y + 3)(x + y - 1)$

3. 最終的な答え

$(2x + y + 3)(x + y - 1)$