$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $2\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{4a+b}$ が成り立つことを証明する問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $2\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{4a+b}$ が成り立つことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺を2乗します。

$(2\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 > (\sqrt{4a+b})^2$

$4a + 4\sqrt{ab} + b > 4a+b$

$4\sqrt{ab} > 0$

$a > 0$ かつ $b > 0$ なので、$\sqrt{ab} > 0$ であるため、$4\sqrt{ab} > 0$ は常に成り立ちます。

次に、等号が成立しないことを確認します。

$2\sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{4a+b}$ が成立するのは、

$4\sqrt{ab} = 0$ のときですが、$a>0$ かつ $b>0$ なのでこれはありえません。したがって、$2\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{4a+b}$ が成り立ちます。

別解として相加相乗平均の関係を使うこともできます。

$2\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a} + \sqrt{a} + \sqrt{a} + \sqrt{a} + \sqrt{b}$

3. 最終的な答え

$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $2\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{4a+b}$ は成り立つ。