式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解してください。

## (2) の問題

1. 問題の内容

式 $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この式を $a$ について整理します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + b^2c + bc^2$

さらに整理すると、

$(b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + b^2c + bc^2 = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c)$

ここで、$a$ に関する2次式と見て因数分解を試みます。

$(b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) = (a+b)(a+c)(b+c)$となることを目指します。

実際に計算してみると、

$(b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c) = (b+c)a^2 + (b^2+bc+bc+c^2+bc)a + bc(b+c)$

$=(b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2+bc)a + bc(b+c)$

$=(b+c)a^2 + ((b+c)^2+bc)a + bc(b+c)$

$=(a+b)(a+c)(b+c)$を展開すると、$a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2$となり、元の式を展開したものと一致します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$