全体集合$U$が11より小さい自然数全体、集合$A$が8の正の約数全体、集合$B$が10の正の約数全体であるとき、$\overline{A} \cap \overline{B}$と$\overline{A \cup B}$を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合$U$が11より小さい自然数全体、集合$A$が8の正の約数全体、集合$B$が10の正の約数全体であるとき、$\overline{A} \cap \overline{B}$と$\overline{A \cup B}$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、集合$U, A, B$を具体的に書き出します。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{1, 2, 4, 8\}$

$B = \{1, 2, 5, 10\}$

次に、$A \cup B$を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 8, 10\}$

$\overline{A}$と$\overline{B}$を求めます。

$\overline{A} = U - A = \{3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

$\overline{B} = U - B = \{3, 4, 6, 7, 8, 9\}$

$\overline{A} \cap \overline{B}$を求めます。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{3, 6, 7, 9\}$

$\overline{A \cup B}$を求めます。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{3, 6, 7, 9\}$

また、ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$が成り立つことも確認できます。

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{3, 6, 7, 9\}$

$\overline{A \cup B} = \{3, 6, 7, 9\}$