全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、集合 $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap \overline{B}$ と $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。ここで $\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$U$ に含まれる $A$ に含まれない要素の集合である。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、集合 $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap \overline{B}$ と $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。ここで $\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$U$ に含まれる $A$ に含まれない要素の集合である。

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求める。

$\overline{A}$ は、$U$ の要素のうち $A$ に含まれないものからなる集合である。

$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ なので、

$\overline{A} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$\overline{B}$ は、$U$ の要素のうち $B$ に含まれないものからなる集合である。

$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ なので、

$\overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

次に、$\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める。これは $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$、$\overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ なので、

$\overline{A} \cap \overline{B} = \emptyset$ (空集合)

最後に、$\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。これは $\overline{A}$ または $\overline{B}$ に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$、$\overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ なので、

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$