$a>0$ とする。関数 $f(x) = x(x-3a)^2$ ($0 \le x \le 1$) の最大値を $a$ の関数とみて $g(a)$ とおく。 (1) $g(a)$ を求め、$ab$ 平面に $b = g(a)$ のグラフの概形を描け。 (2) $g(a)$ の最小値とそれを与える $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a>0$ とする。関数 $f(x) = x(x-3a)^2$ ($0 \le x \le 1$) の最大値を $a$ の関数とみて $g(a)$ とおく。

(1) $g(a)$ を求め、$ab$ 平面に $b = g(a)$ のグラフの概形を描け。

(2) $g(a)$ の最小値とそれを与える $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x(x-3a)^2 = x(x^2 - 6ax + 9a^2) = x^3 - 6ax^2 + 9a^2x$

$f'(x) = 3x^2 - 12ax + 9a^2 = 3(x^2 - 4ax + 3a^2) = 3(x-a)(x-3a)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = a$ または $x = 3a$。ただし、$0 \le x \le 1$ に注意する。

$0 < a < 1$ のとき、$x = a$ は定義域に含まれ、$x = 3a$ は含まれない可能性がある。

$a > 1$ のとき、$x = a, x = 3a$ はどちらも定義域に含まれない。

$f(0) = 0$

$f(1) = (1-3a)^2$

$f(a) = a(a-3a)^2 = a(-2a)^2 = 4a^3$

$f(3a) = 3a(3a-3a)^2 = 0$

(i) $0 < a \le 1/3$ のとき、$f(x)$ は $x=a$ で極大、$x=3a$ で極小。

$0 \le x \le 1$ での最大値は $f(1) = (1-3a)^2$。

$f(1) - f(a) = (1-3a)^2 - 4a^3 = 1 - 6a + 9a^2 - 4a^3$。

ここで、$h(a) = 1 - 6a + 9a^2 - 4a^3$ とすると、$h'(a) = -6 + 18a - 12a^2 = -6(2a-1)(a-1)$。

$0 < a \le 1/3$ で $h'(a) < 0$ なので、$h(a)$ は単調減少。

$h(0) = 1 > 0$ より、$f(1) > f(a)$ なので、$g(a) = (1-3a)^2$。

(ii) $1/3 < a < 1$ のとき、$x=a$ は定義域に含まれる。

$0 \le x \le 1$ での最大値は $f(1)$ または $f(a)$。

$f(1) = (1-3a)^2$, $f(a) = 4a^3$。

$f(a) - f(1) = 4a^3 - (1-3a)^2 = 4a^3 - (1 - 6a + 9a^2) = 4a^3 - 9a^2 + 6a - 1 = (a-1)^2(4a-1)$。

$1/3 < a < 1$ で $4a-1 > 0$ なので、$f(a) > f(1)$ なので、$g(a) = 4a^3$。

(iii) $a \ge 1$ のとき、$x=a$ は定義域に含まれない。

$0 \le x \le 1$ での最大値は $f(1) = (1-3a)^2$。$g(a) = (1-3a)^2$。

まとめると、

$g(a) = \begin{cases} (1-3a)^2 & (0 < a \le 1/3) \\ 4a^3 & (1/3 < a < 1) \\ (1-3a)^2 & (a \ge 1) \end{cases}$

$b = g(a)$ のグラフの概形は省略。

(2)

(i) $0 < a \le 1/3$ のとき、$g'(a) = 2(1-3a)(-3) = 18a - 6$。これは常に負なので、単調減少。

(ii) $1/3 < a < 1$ のとき、$g'(a) = 12a^2$。これは常に正なので、単調増加。

(iii) $a \ge 1$ のとき、$g'(a) = 2(1-3a)(-3) = 18a - 6 > 0$ なので、単調増加。

$a=1/3$ での $g(a)$ の値は $g(1/3) = 4(1/3)^3 = 4/27$。

$a=1$ での $g(a)$ の値は $g(1) = (1-3)^2 = 4$。

$0<a\le 1/3$ で単調減少なので、この範囲での最小値はない。

$a>1/3$ で単調増加なので、$a=1/3$ が最小値を与える候補。

$a=1/3$の時、$g(1/3)=4(1/3)^3 = 4/27$

$g(1/3) = (1-3(1/3))^2 = 0$ これは間違い

正しくは、$g(1/3) = (1-1)^2 = 0$

$g(1/3+) = 4(1/3)^3 = 4/27$

$g'(a)=18a-6$

$18a-6=0$

$a=1/3$

従って$g(1/3)=0$

$g'(a)=12a^2$

$a=0$で極小だが、$a>0$なので、極小値を取ることはない。

$g(a)$は連続ではないので、

$0 < a < 1$ の範囲では、最小値は存在しない。

$a > 0$ 全体で考えた場合、$g(a) = (1-3a)^2$ なので、$1-3a = 0$ のとき、$a = 1/3$ で $g(a) = 0$ となり、これが最小値。

3. 最終的な答え

最小値: 0

aの値: 1/3