以下の4つの関数の導関数を求める。 (1) $y = x^x, (x > 0)$ (2) $y = x^{\cos x}, (x > 0)$ (3) $y = (\log x)^x, (x > 1)$ (4) $y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3 (x+3)^4}$

1. 問題の内容

以下の4つの関数の導関数を求める。

(1) $y = x^x, (x > 0)$

(2) $y = x^{\cos x}, (x > 0)$

(3) $y = (\log x)^x, (x > 1)$

(4) $y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3 (x+3)^4}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^x$ の導関数を求める。

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log (x^x) = x \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y (\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

(2) $y = x^{\cos x}$ の導関数を求める。

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log (x^{\cos x}) = \cos x \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\sin x \log x + \cos x \cdot \frac{1}{x} = -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right) = x^{\cos x} \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right)$

(3) $y = (\log x)^x$ の導関数を求める。

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log ((\log x)^x) = x \log (\log x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log (\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log (\log x) + \frac{1}{\log x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right) = (\log x)^x \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

(4) $y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3 (x+3)^4}$ の導関数を求める。

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log \left( \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3 (x+3)^4} \right) = 2 \log (x+1) - 3 \log (x+2) - 4 \log (x+3)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right) = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3 (x+3)^4} \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $x^x (\log x + 1)$

(2) $x^{\cos x} \left( -\sin x \log x + \frac{\cos x}{x} \right)$

(3) $(\log x)^x \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

(4) $\frac{(x+1)^2}{(x+2)^3 (x+3)^4} \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right)$