与えられた関数の定義域、値域、逆関数を求める問題と、極限を求める問題です。具体的には以下の5つの小問があります。 (1) $y = \frac{x-2}{x+3}$ の定義域、値域、逆関数を求める。 (2) $y = x^2 - 4x$ ($x \le 2$) の定義域、値域、逆関数を求める。 (3) $\lim_{x \to \infty} (\log_2{x^2} - x - \log_2(x^2+1))$ を求める。 (4) $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln{x})^n}{e^x}$, $n \in \mathbb{N}$ を求める。 (5) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数の定義域、値域、逆関数を求める問題と、極限を求める問題です。具体的には以下の5つの小問があります。

(1) $y = \frac{x-2}{x+3}$ の定義域、値域、逆関数を求める。

(2) $y = x^2 - 4x$ ($x \le 2$) の定義域、値域、逆関数を求める。

(3) $\lim_{x \to \infty} (\log_2{x^2} - x - \log_2(x^2+1))$ を求める。

(4) $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln{x})^n}{e^x}$, $n \in \mathbb{N}$ を求める。

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x-2}{x+3}$

- 定義域: 分母が0にならないように、$x \neq -3$。したがって定義域は $x \in \mathbb{R}, x \neq -3$。

- 値域: $y = \frac{x-2}{x+3}$ を $x$ について解くと、$y(x+3) = x-2$ より $yx + 3y = x - 2$。よって、$(y-1)x = -3y-2$。もし $y \neq 1$ なら、$x = \frac{-3y-2}{y-1}$ となる。したがって、値域は $y \in \mathbb{R}, y \neq 1$。

- 逆関数: $x$ と $y$ を入れ替えて、$y = \frac{-3x-2}{x-1}$。

(2) $y = x^2 - 4x$ ($x \le 2$)

- 定義域: $x \le 2$

- 値域: $y = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$。$x \le 2$ なので、$x=2$ のとき $y=-4$ で最小値をとる。$(x-2)^2$ は $x$ が小さくなるにつれて大きくなるので、$y$ は $-4$ から無限大に増加する。よって、値域は $y \ge -4$。

- 逆関数: $y = (x-2)^2 - 4$ より、$(x-2)^2 = y+4$。$x \le 2$ なので、$x-2 = -\sqrt{y+4}$。よって、$x = 2 - \sqrt{y+4}$。逆関数は $y = 2 - \sqrt{x+4}$。

(3) $\lim_{x \to \infty} (\log_2{x^2} - x - \log_2(x^2+1))$

$= \lim_{x \to \infty} (\log_2{\frac{x^2}{x^2+1}} - x)$

$= \lim_{x \to \infty} (\log_2{\frac{x^2}{x^2+1}}) - \lim_{x \to \infty} x$

$= \log_2{1} - \infty$

$= 0 - \infty = -\infty$

(4) $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln{x})^n}{e^x}$, $n \in \mathbb{N}$

これはロピタルの定理を $n$ 回使うことで解ける。

$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln{x})^n}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{n(\ln{x})^{n-1} \cdot \frac{1}{x}}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{n(\ln{x})^{n-1}}{xe^x}$

これを繰り返すと、最終的には定数/（多項式 * 指数関数）となるので、極限は0になる。

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$

ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{1+x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1+x)} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

- 定義域: $x \in \mathbb{R}, x \neq -3$

- 値域: $y \in \mathbb{R}, y \neq 1$

- 逆関数: $y = \frac{-3x-2}{x-1}$

(2)

- 定義域: $x \le 2$

- 値域: $y \ge -4$

- 逆関数: $y = 2 - \sqrt{x+4}$

(3) $-\infty$

(4) 0

(5) $\frac{1}{2}$