問題は、式 $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を簡単にすることです。

1. 問題の内容

問題は、式 $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を簡単にすることです。

2. 解き方の手順

まず、$x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$ と置きます。すると、$x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a-b+b-c+c-a = 0$ となります。

ここで、$x+y+z = 0$のとき、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ という恒等式を利用します。この恒等式は、次のように証明できます。

$x+y+z = 0$ より $x+y = -z$ です。両辺を3乗すると

$(x+y)^3 = (-z)^3$

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = -z^3$

$x^3 + y^3 + z^3 = -3x^2y - 3xy^2$

$x^3 + y^3 + z^3 = -3xy(x+y)$

$x^3 + y^3 + z^3 = -3xy(-z)$

$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$

したがって、

$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$