$a+b+c=0$ のとき、次の等式を証明する問題です。 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = 0$

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、次の等式を証明する問題です。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = 0$

2. 解き方の手順

与えられた等式の左辺を変形して、0になることを示します。

まず、左辺を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この式を因数分解します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

ここで、$a+b+c=0$ より、$a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$ となります。

これらを上記の式に代入すると、

$(a+b)(b+c)(c+a) = (-c)(-a)(-b) = -abc$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = -abc + 3abc = 2abc$

ここで、最初の展開に誤りがありました。正しくは以下の通りです。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

$a+b+c = 0$ より、$a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$ が成り立ちます。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (-c)(-a)(-b) = -abc$

したがって、

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0$

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) = -abc -3abc$

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)= a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2=-abc -3abc$

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc+3abc = (0)(ab+bc+ca) = -abc -3abc$

$a^2b + ab^2 + abc + abc + b^2c + abc = 0$

$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2 +3abc = 0$

$a+b+c=0$なので、$c = -(a+b)$

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=ab(a+b)+b(-(a+b))(b-a-b)+a(-(a+b))(-a-b+a)+3ab(-(a+b))$

$=ab(a+b)+b(-a-b)(-a)+a(-a-b)(-b)-3ab(a+b)$

$=a^2b+ab^2+a^2b+ab^2+a^2b+ab^2-3a^2b-3ab^2=0$

3. 最終的な答え

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = 0$