与えられた格子状の道において、以下の問いに答える問題です。 (1) A地点からB地点まで最短経路で行く方法は何通りあるか。 (2) A地点からC地点まで最短経路で行く方法は何通りあるか。 (3) A地点からC地点を経由してB地点まで最短経路で行く方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

与えられた格子状の道において、以下の問いに答える問題です。

(1) A地点からB地点まで最短経路で行く方法は何通りあるか。

(2) A地点からC地点まで最短経路で行く方法は何通りあるか。

(3) A地点からC地点を経由してB地点まで最短経路で行く方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

最短経路の問題は、各交差点に、左と下から来る経路の数を足し込むことで解けます。

(1) A地点からB地点まで

AからBまで行くには、右に5マス、上に3マス進む必要があります。

これは合計8回の移動のうち、どの3回を上に進むかに対応するので、組み合わせで計算できます。

あるいは、右に5回進むことに着目し、${}_8C_5$を計算しても同じ結果になります。

${}_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

(2) A地点からC地点まで

AからCまで行くには、右に2マス、上に2マス進む必要があります。

これは合計4回の移動のうち、どの2回を上に進むかに対応するので、組み合わせで計算できます。

${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

(3) A地点からC地点を通ってB地点まで

AからCまでの経路数は(2)で求めたように6通りです。

CからBまで行くには、右に3マス、上に1マス進む必要があります。

これは合計4回の移動のうち、どの1回を上に進むかに対応するので、組み合わせで計算できます。

${}_4C_1 = \frac{4!}{1!3!} = 4$

よって、AからCを通ってBまで行く経路数は、$6 \times 4 = 24$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 56通り

(2) 6通り

(3) 24通り