与えられた経路図において、以下の3つの場合におけるA地点からB地点、C地点への最短経路の数を求めます。 (1) A地点からB地点までの経路の数 (2) A地点からC地点までの経路の数 (3) A地点からC地点を経由してB地点までの経路の数

1. 問題の内容

与えられた経路図において、以下の3つの場合におけるA地点からB地点、C地点への最短経路の数を求めます。

(1) A地点からB地点までの経路の数

(2) A地点からC地点までの経路の数

(3) A地点からC地点を経由してB地点までの経路の数

2. 解き方の手順

この問題は、組み合わせを使って解くことができます。

(1) A地点からB地点まで行く場合：

A地点からB地点まで行くには、右に5回、上に3回移動する必要があります。

したがって、全部で8回の移動のうち、右に5回移動する回数を選ぶことになります。

これは組み合わせで表すと、 $_8C_5$ となります。

$_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

(2) A地点からC地点まで行く場合：

A地点からC地点まで行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。

したがって、全部で4回の移動のうち、右に2回移動する回数を選ぶことになります。

これは組み合わせで表すと、 $_4C_2$ となります。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

(3) A地点からC地点を通ってB地点まで行く場合：

A地点からC地点までの経路数は(2)で求めた通り6通りです。

C地点からB地点まで行くには、右に3回、上に1回移動する必要があります。

したがって、全部で4回の移動のうち、右に3回移動する回数を選ぶことになります。

これは組み合わせで表すと、 $_4C_3$ となります。

$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4}{1} = 4$

A地点からC地点を通ってB地点まで行く経路数は、A地点からC地点までの経路数とC地点からB地点までの経路数の積になります。

したがって、$6 \times 4 = 24$通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) A地点からB地点まで行く経路数は56通りです。

(2) A地点からC地点まで行く経路数は6通りです。

(3) A地点からC地点を通ってB地点まで行く経路数は24通りです。