質量 $m$ の帆船の模型が初速度 $v_0$ で滑らかな水平面上を動き始め、一直線上を運動してやがて止まった。止まるまでに進んだ距離は $L$ であった。帆船に作用する水平方向の力は、速度 $v$ に比例する空気抵抗 $-bv$ ($b$ は正の定数) のみである。 問1: 帆船の速度 $v$ を、動き始めてからの時間 $t$ の関数として表す式を選ぶ。 問2: $L$ を $m, v_0, b$ で表す式を選ぶ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の帆船の模型が初速度 $v_0$ で滑らかな水平面上を動き始め、一直線上を運動してやがて止まった。止まるまでに進んだ距離は $L$ であった。帆船に作用する水平方向の力は、速度 $v$ に比例する空気抵抗 $-bv$ ($b$ は正の定数) のみである。

問1: 帆船の速度 $v$ を、動き始めてからの時間 $t$ の関数として表す式を選ぶ。

問2: $L$ を $m, v_0, b$ で表す式を選ぶ。

2. 解き方の手順

問1:

運動方程式は $m \frac{dv}{dt} = -bv$ となる。

これを解くために、変数を分離して積分する。

$\frac{dv}{v} = -\frac{b}{m} dt$

$\int \frac{dv}{v} = \int -\frac{b}{m} dt$

$\ln |v| = -\frac{b}{m}t + C$

$v = e^{-\frac{b}{m}t + C} = e^C e^{-\frac{b}{m}t}$

初期条件 $t=0$ で $v=v_0$ より、 $v_0 = e^C$

よって $v = v_0 e^{-\frac{b}{m}t}$

問2:

速度 $v = v_0 e^{-\frac{b}{m}t}$ より、位置 $x$ を求める。

$x = \int v dt = \int v_0 e^{-\frac{b}{m}t} dt = v_0 \left( -\frac{m}{b} \right) e^{-\frac{b}{m}t} + C'$

$t=0$ で $x=0$ とすると、 $0 = v_0 \left( -\frac{m}{b} \right) + C'$ より、 $C' = \frac{m v_0}{b}$

したがって、$x = \frac{m v_0}{b} (1 - e^{-\frac{b}{m}t})$

$t \to \infty$ で $x = L$ となるから、

$L = \frac{m v_0}{b} (1 - 0) = \frac{m v_0}{b}$

3. 最終的な答え

問1:

$v = v_0 e^{-\frac{b}{m}t}$

(選択肢2)

問2:

$L = \frac{m v_0}{b}$

(選択肢4)