高さ3.6mからボールを落とした。ボールと床の反発係数は0.75である。 (1) 床に当たる直前の速さを求めよ。 (2) 床ではね返った直後の速さを求めよ。 (3) ボールがはね上がる高さを求めよ。 (4) 2度目の衝突後はね上がる高さを求めよ。

1. 問題の内容

高さ3.6mからボールを落とした。ボールと床の反発係数は0.75である。

(1) 床に当たる直前の速さを求めよ。

(2) 床ではね返った直後の速さを求めよ。

(3) ボールがはね上がる高さを求めよ。

(4) 2度目の衝突後はね上がる高さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 床に当たる直前の速さ

自由落下運動の式 $v^2 = v_0^2 + 2gh$ を利用する。

初速度 $v_0 = 0$、重力加速度 $g = 9.8 m/s^2$、落下距離 $h = 3.6 m$ より、

$v^2 = 0 + 2 * 9.8 * 3.6$

$v^2 = 70.56$

$v = \sqrt{70.56} = 8.4 m/s$

(2) 床ではね返った直後の速さ

反発係数 $e = 0.75$ を利用する。はね返った直後の速さ $v'$ は、衝突直前の速さ $v$ に反発係数をかけたものになる。

$v' = e * v = 0.75 * 8.4 = 6.3 m/s$

(3) ボールがはね上がる高さ

はね返った直後の速さ $v'$ を用いて、再び自由落下運動の式 $v^2 = v_0^2 + 2gh$ を利用する。最高点では速度が0になるので、$v = 0$。

$0 = v'^2 - 2gh'$

$2gh' = v'^2$

$h' = \frac{v'^2}{2g} = \frac{6.3^2}{2 * 9.8} = \frac{39.69}{19.6} = 2.025 m$

(4) 2度目の衝突後はね上がる高さ

2度目の衝突直前の速さは、1度目の衝突後の速さと同じ $6.3 m/s$。2度目の衝突直後の速さは、$6.3 m/s * 0.75 = 4.725 m/s$ となる。

$h'' = \frac{(4.725)^2}{2 * 9.8} = \frac{22.325625}{19.6} = 1.139 m$

3. 最終的な答え

(1) 床に当たる直前の速さ：8.4 m/s

(2) 床ではね返った直後の速さ：6.3 m/s

(3) ボールがはね上がる高さ：2.025 m

(4) 2度目の衝突後はね上がる高さ：1.139 m