空気中や水中を運動する物体に働く抵抗を考慮した運動方程式 $mv' = -av + mg$ について、以下の問いに答えます。 (1) 特殊解としての定数解 $v_f$ を求めます。 (2) 方程式 (3) の一般解を求めます。 (3) 初期値 $v(0) = 0$ と $v(0) = 2v_f$ を満たす解 $v(t)$ をそれぞれ求め、そのグラフの概形を描きます。

1. 問題の内容

空気中や水中を運動する物体に働く抵抗を考慮した運動方程式 $mv' = -av + mg$ について、以下の問いに答えます。

(1) 特殊解としての定数解 $v_f$ を求めます。

(2) 方程式 (3) の一般解を求めます。

(3) 初期値 $v(0) = 0$ と $v(0) = 2v_f$ を満たす解 $v(t)$ をそれぞれ求め、そのグラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

(1) 特殊解 (定数解) の導出

定数解 $v_f$ は、$v'=0$ となる時の解なので、運動方程式に代入すると、

$0 = -av_f + mg$

よって、

$v_f = \frac{mg}{a}$

(2) 一般解の導出

与えられた微分方程式 $mv' = -av + mg$ は、変数分離形なので、

$\frac{dv}{dt} = -\frac{a}{m}v + g$

$\frac{dv}{-\frac{a}{m}v + g} = dt$

$\int \frac{dv}{-\frac{a}{m}v + g} = \int dt$

$-\frac{m}{a} \ln |-\frac{a}{m}v + g| = t + C_1$ (ここで、$C_1$ は積分定数)

$\ln |-\frac{a}{m}v + g| = -\frac{a}{m}t + C_2$ (ここで、$C_2 = -\frac{a}{m}C_1$)

$-\frac{a}{m}v + g = C_3 e^{-\frac{a}{m}t}$ (ここで、$C_3 = \pm e^{C_2}$)

$v = \frac{mg}{a} - \frac{m}{a}C_3 e^{-\frac{a}{m}t}$

$v(t) = \frac{mg}{a} + C e^{-\frac{a}{m}t}$ (ここで、$C = -\frac{m}{a}C_3$ は任意定数)

これが一般解です。

(3) 初期値問題

(i) $v(0) = 0$ の場合

$v(0) = \frac{mg}{a} + C = 0$

$C = -\frac{mg}{a}$

よって、$v(t) = \frac{mg}{a} - \frac{mg}{a} e^{-\frac{a}{m}t} = \frac{mg}{a}(1 - e^{-\frac{a}{m}t}) = v_f (1 - e^{-\frac{a}{m}t})$

(ii) $v(0) = 2v_f = 2\frac{mg}{a}$ の場合

$v(0) = \frac{mg}{a} + C = 2\frac{mg}{a}$

$C = \frac{mg}{a}$

よって、$v(t) = \frac{mg}{a} + \frac{mg}{a} e^{-\frac{a}{m}t} = \frac{mg}{a}(1 + e^{-\frac{a}{m}t}) = v_f (1 + e^{-\frac{a}{m}t})$

グラフの概形:

(i) $v(0) = 0$ の場合、v(t) は 0 から $v_f$ に単調増加する曲線になります。

(ii) $v(0) = 2v_f$ の場合、v(t) は $2v_f$ から $v_f$ に単調減少する曲線になります。

どちらの初期値の場合も、$t \to \infty$ で $v(t) \to v_f$ になります。

3. 最終的な答え

(1) 特殊解: $v_f = \frac{mg}{a}$

(2) 一般解: $v(t) = \frac{mg}{a} + C e^{-\frac{a}{m}t}$ (C は任意定数)

(3) 初期値問題:

(i) $v(0) = 0$ の場合: $v(t) = \frac{mg}{a}(1 - e^{-\frac{a}{m}t})$

(ii) $v(0) = 2v_f$ の場合: $v(t) = \frac{mg}{a}(1 + e^{-\frac{a}{m}t})$

各解のグラフの概形は上記参照。