2次関数 $y = x^2 - (3m+2)x + 2m$ のグラフと $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$-1 < \alpha < 0 < \beta$ を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - (3m+2)x + 2m$ のグラフと $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$-1 < \alpha < 0 < \beta$ を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - (3m+2)x + 2m$ とおく。

$-1 < \alpha < 0 < \beta$ となるためには、以下の条件を満たす必要がある。

* $f(-1) > 0$

* $f(0) < 0$

まず、$f(-1)$ を計算する。

$f(-1) = (-1)^2 - (3m+2)(-1) + 2m = 1 + 3m + 2 + 2m = 5m + 3$

$f(-1) > 0$ より、

$5m + 3 > 0$

$5m > -3$

$m > -\frac{3}{5}$

次に、$f(0)$ を計算する。

$f(0) = (0)^2 - (3m+2)(0) + 2m = 2m$

$f(0) < 0$ より、

$2m < 0$

$m < 0$

上記2つの条件を同時に満たす $m$ の範囲を求める。

$-\frac{3}{5} < m < 0$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{5} < m < 0$