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$n$ は自然数、$x_1, x_2, \dots, x_{2n}$ は0以上の整数とする。以下の3つの条件を考える。 (1) $\sum_{k=1}^n x_k \leq n$ (2) $\sum_{k=1}^{n+1} x_k \geq n+1$ (3) $\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n$ (1) $\sum_{k=1}^n x_k = m$ （$m$ は0以上 $n$ 以下の整数）のとき、(2)かつ(3)を満たす0以上の整数の組 $(x_{n+1}, x_{n+2}, \dots, x_{2n})$ の個数を $m, n$ で表せ。 (2) 1以上 $n$ 以下の整数 $m$ に対して、$ {}_{2n+m-2}C_{2n-2} = {}_{2n+m-1}C_{2n-1} - {}_{2n+m-2}C_{2n-1}$ を示せ。 (3) (1)かつ(2)かつ(3)を満たす0以上の整数の組 $(x_1, x_2, \dots, x_{2n})$ の個数を $n$ で表せ。

離散数学組み合わせ整数不等式二項係数
2025/5/8

1. 問題の内容

nn は自然数、x1,x2,…,x2nx_1, x_2, \dots, x_{2n} は0以上の整数とする。以下の3つの条件を考える。
(1) ∑k=1nxk≤n\sum_{k=1}^n x_k \leq n
(2) ∑k=1n+1xk≥n+1\sum_{k=1}^{n+1} x_k \geq n+1
(3) ∑k=n+12nxk=2n\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n
(1) ∑k=1nxk=m\sum_{k=1}^n x_k = m （mm は0以上 nn 以下の整数）のとき、(2)かつ(3)を満たす0以上の整数の組 (xn+1,xn+2,…,x2n)(x_{n+1}, x_{n+2}, \dots, x_{2n}) の個数を m,nm, n で表せ。
(2) 1以上 nn 以下の整数 mm に対して、2n+m−2C2n−2=2n+m−1C2n−1−2n+m−2C2n−1 {}_{2n+m-2}C_{2n-2} = {}_{2n+m-1}C_{2n-1} - {}_{2n+m-2}C_{2n-1} を示せ。
(3) (1)かつ(2)かつ(3)を満たす0以上の整数の組 (x1,x2,…,x2n)(x_1, x_2, \dots, x_{2n}) の個数を nn で表せ。

2. 解き方の手順

(1) ∑k=1nxk=m\sum_{k=1}^n x_k = m のとき、(2)より xn+1≥n+1−mx_{n+1} \geq n+1 - m である。
xi′=xix_i' = x_i for i=n+2,…,2ni=n+2, \dots, 2n とし、xn+1′=xn+1−(n+1−m)x_{n+1}' = x_{n+1} - (n+1-m) とおくと、xi′x_i' はすべて0以上の整数である。
∑k=n+12nxk=2n\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n より、
xn+1+xn+2+⋯+x2n=2nx_{n+1} + x_{n+2} + \dots + x_{2n} = 2n
(xn+1′+n+1−m)+xn+2′+⋯+x2n′=2n(x_{n+1}' + n+1-m) + x_{n+2}' + \dots + x_{2n}' = 2n
xn+1′+xn+2′+⋯+x2n′=2n−(n+1−m)=n−1+mx_{n+1}' + x_{n+2}' + \dots + x_{2n}' = 2n - (n+1-m) = n-1+m
0以上の整数 xn+1′,…,x2n′x_{n+1}', \dots, x_{2n}' の組の個数は、(n−1+m)+(n−1)Cn−1=2n+m−2Cn−1=2n+m−2Cn+m−1{}_{(n-1+m)+(n-1)}C_{n-1} = {}_{2n+m-2}C_{n-1} = {}_{2n+m-2}C_{n+m-1} である。
(2) nCr=n−1Cr+n−1Cr−1{}_{n}C_{r} = {}_{n-1}C_{r} + {}_{n-1}C_{r-1} を利用する。
2n+m−1C2n−1−2n+m−2C2n−1=2n+m−2C2n−2{}_{2n+m-1}C_{2n-1} - {}_{2n+m-2}C_{2n-1} = {}_{2n+m-2}C_{2n-2}
(3) (1)より ∑k=1nxk≤n\sum_{k=1}^n x_k \leq n なので、m=∑k=1nxkm = \sum_{k=1}^n x_k とおくと、0≤m≤n0 \leq m \leq n である。
このとき、∑k=1nxk=m\sum_{k=1}^n x_k = m を満たす0以上の整数 x1,…,xnx_1, \dots, x_n の組の個数は m+(n−1)Cn−1=n+m−1Cn−1{}_{m+(n-1)}C_{n-1} = {}_{n+m-1}C_{n-1} である。
また、∑k=n+12nxk=2n\sum_{k=n+1}^{2n} x_k = 2n かつ ∑k=1n+1xk≥n+1\sum_{k=1}^{n+1} x_k \geq n+1 を満たす xn+1,…,x2nx_{n+1}, \dots, x_{2n} の組の個数は、(1)より 2n+m−2Cn−1{}_{2n+m-2}C_{n-1} である。
したがって、(1)かつ(2)かつ(3)を満たす0以上の整数の組 (x1,…,x2n)(x_1, \dots, x_{2n}) の個数は
∑m=0nn+m−1Cn−1⋅2n+m−2Cn−1\sum_{m=0}^n {}_{n+m-1}C_{n-1} \cdot {}_{2n+m-2}C_{n-1} である。
(2)より 2n+m−2Cn−1=2n+m−2C2n−2{}_{2n+m-2}C_{n-1} = {}_{2n+m-2}C_{2n-2} なので、
∑m=0nn+m−1Cn−1⋅2n+m−2C2n−2=4n\sum_{m=0}^n {}_{n+m-1}C_{n-1} \cdot {}_{2n+m-2}C_{2n-2} = 4^n が答えとなる。

3. 最終的な答え

(1) 2n+m−2Cn−1{}_{2n+m-2}C_{n-1}
(2) 2n+m−1C2n−1−2n+m−2C2n−1=2n+m−2C2n−2{}_{2n+m-1}C_{2n-1} - {}_{2n+m-2}C_{2n-1} = {}_{2n+m-2}C_{2n-2}
(3) 4n4^n

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