(1) 不定積分 $\int 2x dx$ を求め、結果を $x^{\boxed{ア}} + C$ の形で表す。ここで $C$ は積分定数である。 (2) $f(x) = -3x + 2$ を導関数とする関数 $F(x)$ のうち、$F(0) = 3$ を満たすものを求める。結果を $F(x) = \frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}} x^2 + \boxed{ウ} x + \boxed{エ}$ の形で表す。

1. 問題の内容

(1) 不定積分 $\int 2x dx$ を求め、結果を $x^{\boxed{ア}} + C$ の形で表す。ここで $C$ は積分定数である。

(2) $f(x) = -3x + 2$ を導関数とする関数 $F(x)$ のうち、$F(0) = 3$ を満たすものを求める。結果を $F(x) = \frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}} x^2 + \boxed{ウ} x + \boxed{エ}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分の計算

$\int 2x dx$ を計算する。

$x$ の指数を1つ増やし、増やした指数で割る。

$\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$

したがって、$\boxed{ア} = 2$

(2) 導関数から元の関数を求める

$F(x)$ は $f(x) = -3x + 2$ の原始関数なので、

$F(x) = \int f(x) dx = \int (-3x + 2) dx = -3 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C'$

ここで、$C'$ は積分定数である。

$F(0) = 3$ という条件から、$C'$ を求める。

$F(0) = -3 \cdot \frac{0^2}{2} + 2 \cdot 0 + C' = C' = 3$

したがって、$F(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + 3$

よって、$\boxed{ア} = -3$, $\boxed{イ} = 2$, $\boxed{ウ} = 2$, $\boxed{エ} = 3$

3. 最終的な答え

(1)の(ア): 2

(2)の(ア): -3