与えられた行列 $ \begin{pmatrix} a+b & a & -b \\ b+c & 2 & a+b \\ b-c & 8 & a+b+c \end{pmatrix} $ が対称行列であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $\begin{pmatrix} a+b & a & -b \\ b+c & 2 & a+b \\ b-c & 8 & a+b+c \end{pmatrix}$ が対称行列であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

対称行列の定義から、行列の$(i, j)$成分と$(j, i)$成分は等しくなります。つまり、$A = (a_{ij})$ が対称行列であるとき、$a_{ij} = a_{ji}$ が成り立ちます。

与えられた行列が対称行列であることから、以下の関係が成り立ちます。

* $a_{12} = a_{21}$ より、$a = b+c$

* $a_{13} = a_{31}$ より、$-b = b-c$

* $a_{23} = a_{32}$ より、$a+b = 8$

2番目の式 $-b = b - c$ より、$c = 2b$ が得られます。

これを1番目の式 $a = b + c$ に代入すると、$a = b + 2b = 3b$ となります。

つまり、$b = \frac{a}{3}$ が得られます。

3番目の式 $a+b = 8$ に $b = \frac{a}{3}$ を代入すると、$a + \frac{a}{3} = 8$ となります。

両辺に3をかけると、$3a + a = 24$ となり、$4a = 24$ が得られます。

したがって、$a = \frac{24}{4} = 6$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 6$