次の不定積分を求める問題です。 (1) $\int (3x^2+6x-1)dx$ (2) $\int (2x-3)^2 dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

(1) $\int (3x^2+6x-1)dx$

(2) $\int (2x-3)^2 dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (3x^2+6x-1)dx$

積分を計算します。

$\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

$\int 6x dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2$

$\int -1 dx = -x$

したがって、

$\int (3x^2+6x-1)dx = x^3 + 3x^2 - x + C$

(2) $\int (2x-3)^2 dx$

まず、$(2x-3)^2$を展開します。

$(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

したがって、

$\int (2x-3)^2 dx = \int (4x^2 - 12x + 9) dx$

積分を計算します。

$\int 4x^2 dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{4}{3}x^3$

$\int -12x dx = -12 \cdot \frac{x^2}{2} = -6x^2$

$\int 9 dx = 9x$

したがって、

$\int (4x^2 - 12x + 9) dx = \frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + C$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 + 3x^2 - x + C$

(2) $\frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + C$