3点A(1, 4), B(-1, 1), Cを頂点とする三角形ABCは、角Cが90度の直角二等辺三角形である。点Cの座標を求める。

1. 問題の内容

3点A(1, 4), B(-1, 1), Cを頂点とする三角形ABCは、角Cが90度の直角二等辺三角形である。点Cの座標を求める。

2. 解き方の手順

点Cの座標を(x, y)とする。三角形ABCが角C = 90度の直角二等辺三角形である条件は、以下の2つである。

(1) CA = CB (二等辺三角形の条件)

(2) CAとCBは直交する (直角三角形の条件)

まず、(1)の条件から、

$CA^2 = CB^2$

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = (x + 1)^2 + (y - 1)^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1$

$-2x - 8y + 17 = 2x - 2y + 2$

$4x + 6y = 15$

次に、(2)の条件から、CAとCBの内積が0になる。

$\vec{CA} = (1 - x, 4 - y)$

$\vec{CB} = (-1 - x, 1 - y)$

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (1 - x)(-1 - x) + (4 - y)(1 - y) = 0$

$-(1 - x)(1 + x) + (4 - y)(1 - y) = 0$

$-(1 - x^2) + (4 - 4y - y + y^2) = 0$

$-1 + x^2 + 4 - 5y + y^2 = 0$

$x^2 + y^2 - 5y + 3 = 0$

$4x + 6y = 15$ より $x = \frac{15 - 6y}{4}$

これを $x^2 + y^2 - 5y + 3 = 0$ に代入する。

$(\frac{15 - 6y}{4})^2 + y^2 - 5y + 3 = 0$

$\frac{225 - 180y + 36y^2}{16} + y^2 - 5y + 3 = 0$

$225 - 180y + 36y^2 + 16y^2 - 80y + 48 = 0$

$52y^2 - 260y + 273 = 0$

$4y^2 - 20y + 21 = 0$

$(2y - 3)(2y - 7) = 0$

$y = \frac{3}{2}, \frac{7}{2}$

$y = \frac{3}{2}$ のとき $x = \frac{15 - 6(\frac{3}{2})}{4} = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$y = \frac{7}{2}$ のとき $x = \frac{15 - 6(\frac{7}{2})}{4} = \frac{15 - 21}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

Cの座標は $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ または $(-\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$