点A(3,1)と直線 $3x + 2y - 6 = 0$ に関して対称な点Bの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(3,1)と直線 $3x + 2y - 6 = 0$ に関して対称な点Bの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Bの座標を $(p, q)$ とします。

点Aと点Bの中点をMとすると、Mは直線 $3x + 2y - 6 = 0$ 上にあります。

点Mの座標は $(\frac{3+p}{2}, \frac{1+q}{2})$ となります。

点Mが直線 $3x + 2y - 6 = 0$ 上にあるので、

$$3\left(\frac{3+p}{2}\right) + 2\left(\frac{1+q}{2}\right) - 6 = 0$$

$$3(3+p) + 2(1+q) - 12 = 0$$

$$9 + 3p + 2 + 2q - 12 = 0$$

$$3p + 2q - 1 = 0 \qquad (1)$$

また、直線ABは直線 $3x + 2y - 6 = 0$ と垂直に交わります。

直線ABの傾きは $\frac{q-1}{p-3}$ であり、直線 $3x + 2y - 6 = 0$ の傾きは $-\frac{3}{2}$ です。

垂直に交わるので、傾きの積は -1 となります。

$$\frac{q-1}{p-3} \times \left(-\frac{3}{2}\right) = -1$$

$$\frac{q-1}{p-3} = \frac{2}{3}$$

$$3(q-1) = 2(p-3)$$

$$3q - 3 = 2p - 6$$

$$2p - 3q - 3 = 0 \qquad (2)$$

式(1)と式(2)からpとqを求めます。

式(1)より、 $2q = 1 - 3p$。よって $q = \frac{1 - 3p}{2}$

これを式(2)に代入すると、

$$2p - 3\left(\frac{1 - 3p}{2}\right) - 3 = 0$$

$$4p - 3(1 - 3p) - 6 = 0$$

$$4p - 3 + 9p - 6 = 0$$

$$13p = 9$$

$$p = \frac{9}{13}$$

$q = \frac{1 - 3(\frac{9}{13})}{2} = \frac{1 - \frac{27}{13}}{2} = \frac{\frac{13-27}{13}}{2} = \frac{\frac{-14}{13}}{2} = -\frac{7}{13}$

3. 最終的な答え

点Bの座標は $\left(\frac{9}{13}, -\frac{7}{13}\right)$ です。