関数 $y = \frac{x\sqrt{1-x^2}}{x+1}$ を $x$ について微分しなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x\sqrt{1-x^2}}{x+1}$ を $x$ について微分しなさい。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、商の微分公式と積の微分公式、そして合成関数の微分公式（チェーンルール）を組み合わせる必要があります。

まず、商の微分公式を適用します。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

この問題では、$u = x\sqrt{1-x^2}$、$v = x+1$ となります。

まず、$u$ を微分します。積の微分公式を使います。$u = fg$ のとき、$u' = f'g + fg'$ です。

ここで、$f = x$、$g = \sqrt{1-x^2}$ とします。

すると、$f' = 1$、$g' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$ となります。

したがって、$u' = (1)\sqrt{1-x^2} + x(\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}) = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x^2 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

次に、$v$ を微分します。$v = x+1$ なので、$v' = 1$ です。

商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}})(x+1) - (x\sqrt{1-x^2})(1)}{(x+1)^2} = \frac{\frac{(1-2x^2)(x+1)}{\sqrt{1-x^2}} - x\sqrt{1-x^2}}{(x+1)^2}$

分子を整理します。

$\frac{(1-2x^2)(x+1) - x(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x+1-2x^3-2x^2 - x+x^3}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x^3-2x^2+1}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$y' = \frac{-x^3-2x^2+1}{\sqrt{1-x^2}(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x^3-2x^2+1}{\sqrt{1-x^2}(x+1)^2}$