数列 $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の階差を求めます。

$2-1 = 1$

$5-2 = 3$

$10-5 = 5$

$17-10 = 7$

階差数列は $1, 3, 5, 7, \dots$ となり、これは初項 $1$、公差 $2$ の等差数列です。

したがって、階差数列の一般項は $2n-1$ です。

元の数列の一般項 $a_n$ は、階差数列の和として表すことができます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)$

$a_1 = 1$ であるので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$a_n = 1 + (n-1)n - (n-1)$

$a_n = 1 + n^2 - n - n + 1$

$a_n = n^2 - 2n + 2$

$n=1$のとき、$a_1 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$

$n=2$のとき、$a_2 = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

$n=3$のとき、$a_3 = 3^2 - 2(3) + 2 = 9 - 6 + 2 = 5$

$n=4$のとき、$a_4 = 4^2 - 2(4) + 2 = 16 - 8 + 2 = 10$

$n=5$のとき、$a_5 = 5^2 - 2(5) + 2 = 25 - 10 + 2 = 17$

数列の別の見方として、$1 = 0^2 + 1, 2 = 1^2 + 1, 5 = 2^2 + 1, 10 = 3^2 + 1, 17 = 4^2 + 1, \dots$

したがって、$a_n = (n-1)^2 + 1 = n^2 - 2n + 1 + 1 = n^2 - 2n + 2$.

数列のさらに別の見方として、$1 = 2 * 1 - 1, 2 = 5 * 1 - 3, 5 = 10 * 1 - 5, 10 = 17 * 1 - 7...$

数列は、$n^2 - 2n + 2$ となることが予想できる。

これは、$n^2 + 1$ に近いので、$a_n = n^2 + 1$ から調整をする。

$a_n = n^2 + 1$

$a_n = (n-1)^2 + 1 = n^2 - 2n + 2$.

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - 2n + 2$