与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - 2x - 7y - 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 5xy + 6y^2$ の部分を因数分解します。

$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x + 2y)(x + 3y)$

次に、与えられた式を $(x + 2y + a)(x + 3y + b)$ の形に因数分解できると仮定して、展開します。

$(x + 2y + a)(x + 3y + b) = x^2 + 3xy + bx + 2xy + 6y^2 + 2by + ax + 3ay + ab$

$= x^2 + 5xy + 6y^2 + (a+b)x + (3a+2b)y + ab$

与えられた式と比較すると、

$a + b = -2$

$3a + 2b = -7$

$ab = -3$

最初の2つの式から $a$ と $b$ を求めます。

$a = -2 - b$ を $3a + 2b = -7$ に代入します。

$3(-2 - b) + 2b = -7$

$-6 - 3b + 2b = -7$

$-b = -1$

$b = 1$

$a = -2 - 1 = -3$

$ab = (-3)(1) = -3$ となり、条件を満たします。

したがって、与えられた式は $(x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 3)(x + 3y + 1)$