与えられた方程式を解きます。方程式は次の通りです。 $\frac{-x^3 - 2x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2(x+1)^2}} = 0$

1. 問題の内容

与えられた方程式を解きます。方程式は次の通りです。

$\frac{-x^3 - 2x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2(x+1)^2}} = 0$

2. 解き方の手順

まず、分数式が0になるのは、分子が0で、分母が0でないときです。

したがって、

$-x^3 - 2x^2 + 1 = 0$

$x^3 + 2x^2 - 1 = 0$

この式は、因数定理を用いて解くことができます。$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$

となるため、$x+1$ は因数であることがわかります。

そこで、$x^3 + 2x^2 - 1$ を $x+1$ で割ると、

$x^3 + 2x^2 - 1 = (x+1)(x^2 + x - 1)$

となります。

したがって、

$(x+1)(x^2 + x - 1) = 0$

となります。

これから、$x+1 = 0$ または $x^2 + x - 1 = 0$ が得られます。

$x+1=0$ より、$x=-1$。

$x^2 + x - 1 = 0$ より、解の公式を用いて、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

となります。

次に、分母が0にならない条件を確認します。

$\sqrt{1-x^2(x+1)^2}$ の根号の中が0以上である必要があり、分母なので0であってはいけません。

つまり、$1-x^2(x+1)^2 > 0$ となります。

$x=-1$ のとき、$1-(-1)^2(-1+1)^2 = 1 - 1(0) = 1 > 0$ となり条件を満たします。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x+1 = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ より、$(x+1)^2 = \frac{1 \pm 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$x^2 = \frac{1 \mp 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 \mp 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 \mp \sqrt{5}}{2}$

よって、$x^2(x+1)^2 = (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) = \frac{9-5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

または、$x^2(x+1)^2 = (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) = \frac{9-5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

つまり、$1 - x^2(x+1)^2 = 1 - 1 = 0$ となるため、これらの解は条件を満たしません。

したがって、$x=-1$のみが解の候補となります。

しかし、$x = -1$ のとき、分母は $\sqrt{1-(-1)^2(-1+1)^2} = \sqrt{1-0} = 1$ となり0ではありません。

3. 最終的な答え

$x = -1$