数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 3$ (n = 1, 2, 3, ...) を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n - 3$ (n = 1, 2, 3, ...) を満たすとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 漸化式を変形します。

$a_{n+1} = 2a_n - 3$ を $a_{n+1} - \alpha = 2(a_n - \alpha)$ の形に変形することを考えます。

$a_{n+1} = 2a_n - 3$ を展開すると $a_{n+1} = 2a_n - 2\alpha + \alpha$ となるので、$-3 = -2\alpha + \alpha$ より、$\alpha = 3$ となります。

したがって、漸化式は $a_{n+1} - 3 = 2(a_n - 3)$ と変形できます。

(2) 数列 $\{a_n - 3\}$ が等比数列であることを示します。

数列 $\{a_n - 3\}$ は、初項 $a_1 - 3 = 1 - 3 = -2$、公比 2 の等比数列です。

(3) 数列 $\{a_n - 3\}$ の一般項を求めます。

$a_n - 3 = (a_1 - 3) \cdot 2^{n-1} = -2 \cdot 2^{n-1} = -2^n$

(4) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

$a_n = -2^n + 3$

3. 最終的な答え

$a_n = 3 - 2^n$