問題は、以下の式を満たす $x$ の値を $0 < x < 1$ の範囲で求めることです。 $\frac{-x^3 - 2x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2}(x+1)^2} = 0$

1. 問題の内容

問題は、以下の式を満たす $x$ の値を $0 < x < 1$ の範囲で求めることです。

$\frac{-x^3 - 2x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2}(x+1)^2} = 0$

2. 解き方の手順

分数式が0になるためには、分子が0になり、分母が0にならないことが必要です。

まず、分子が0になる条件を考えます。

$-x^3 - 2x^2 + 1 = 0$

$x^3 + 2x^2 - 1 = 0$

この式を解くために、$f(x) = x^3 + 2x^2 - 1$ とおきます。

$f(0) = -1$

$f(1) = 1 + 2 - 1 = 2$

$0 < x < 1$ の範囲で中間値の定理より、少なくとも1つの解が存在します。

$f(0.5) = (0.5)^3 + 2(0.5)^2 - 1 = 0.125 + 0.5 - 1 = -0.375$

$f(0.6) = (0.6)^3 + 2(0.6)^2 - 1 = 0.216 + 0.72 - 1 = -0.064$

$f(0.7) = (0.7)^3 + 2(0.7)^2 - 1 = 0.343 + 0.98 - 1 = 0.323$

$x \approx 0.6$ が解に近いことがわかります。より正確な解を求めるには、ニュートン法などの数値解法を用いるか、因数定理を使います。

$x^3 + 2x^2 - 1 = (x-a)(x^2 + bx + c)$ という形を仮定し、$x \approx 0.618$付近に解があると仮定して計算を進めることもできますが、ここでは解の近似値を求めるところまでとします。

次に、分母が0にならない条件を確認します。

$\sqrt{1-x^2}(x+1)^2 \ne 0$

$1 - x^2 \ne 0$ かつ $(x+1)^2 \ne 0$ である必要があります。

$x \ne \pm 1$ かつ $x \ne -1$

$x \ne \pm 1$ である必要があります。

$0 < x < 1$ という条件があるので、 $x=1$ となることはありません。

したがって、分子が0になる $x$ の値を求めれば、それが解となります。$x \approx 0.618$ 付近の値が解となりそうです。

3. 最終的な答え

近似解：$x \approx 0.618$