方程式 $\frac{-x^3 - 2x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2} (x+1)^2} = 0$ を $0 < x < 1$ の範囲で解く問題です。

1. 問題の内容

方程式 $\frac{-x^3 - 2x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2} (x+1)^2} = 0$ を $0 < x < 1$ の範囲で解く問題です。

2. 解き方の手順

分数が0になるためには、分子が0でなければなりません。したがって、$-x^3 - 2x^2 + 1 = 0$ を解きます。これは $x^3 + 2x^2 - 1 = 0$ と同等です。

$x = -1$ を代入すると $(-1)^3 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$ となるので、$x = -1$ は解の一つです。

ここで、$x^3 + 2x^2 - 1$ を $(x+1)$ で割ります。

```

x^2 + x - 1

x+1 | x^3 + 2x^2 + 0x - 1

-(x^3 + x^2)

---------

x^2 + 0x

-(x^2 + x)

---------

-x - 1

-(-x - 1)

---------

0

```

したがって、$x^3 + 2x^2 - 1 = (x+1)(x^2 + x - 1) = 0$ となります。

次に、二次方程式 $x^2 + x - 1 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ここで、$0 < x < 1$ の範囲の解を探します。

$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 + 2.236}{2} \approx \frac{1.236}{2} \approx 0.618$ は $0 < x < 1$ の範囲にあります。

$x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-1 - 2.236}{2} \approx \frac{-3.236}{2} \approx -1.618$ は $0 < x < 1$ の範囲にありません。

また、$x=-1$も$0 < x < 1$ の範囲にありません。

分母が0にならないことも確認します。

$\sqrt{1-x^2}$ は $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ で $0$ になりません。

$(x+1)^2$ は $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ で $0$ になりません。

3. 最終的な答え

$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$