与えられた数式の分母を有理化する問題です。特に、問題(2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた数式の分母を有理化する問題です。特に、問題(2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ を解きます。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、まず分母を$(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}$と見て、$(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}$を分母と分子に掛けます。

\begin{align*}

\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} &= \frac{(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})((1+\sqrt{2})-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})((1+\sqrt{2})-\sqrt{3})} \\

&= \frac{(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} \\

&= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}-2+\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{6}-3}{(1+2\sqrt{2}+2)-3} \\

&= \frac{-4+2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} \\

&= \frac{-2+\sqrt{6}}{\sqrt{2}}

\end{align*}

さらに分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{2}$を掛けます。

\begin{align*}

\frac{-2+\sqrt{6}}{\sqrt{2}} &= \frac{(-2+\sqrt{6})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \\

&= \frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{12}}{2} \\

&= \frac{-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2} \\

&= -\sqrt{2}+\sqrt{3} \\

&= \sqrt{3} - \sqrt{2}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$