(1) $2\sqrt{27}-3\sqrt{12}+\sqrt{54}$を計算せよ。 (2) $(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2$を計算せよ。 (3) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}}$の分母を有理化せよ。 (4) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$の分母を有理化せよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $2\sqrt{27}-3\sqrt{12}+\sqrt{54}$を計算せよ。

(2) $(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2$を計算せよ。

(3) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}}$の分母を有理化せよ。

(4) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの根号の中身を素因数分解します。

$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{54} = \sqrt{2 \cdot 3^3} = 3\sqrt{6}$

したがって、

$2\sqrt{27}-3\sqrt{12}+\sqrt{54} = 2(3\sqrt{3}) - 3(2\sqrt{3}) + 3\sqrt{6} = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

(2)

$(\sqrt{3}+\sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2\sqrt{2 \cdot 3^2} = 9 + 2(3\sqrt{2}) = 9 + 6\sqrt{2}$

(3)

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(4)

$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{6} + \sqrt{6} + (\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2(3) + 3\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = \frac{6 + 3\sqrt{6} + 2}{1} = 8 + 3\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{6}$

(2) $9 + 6\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(4) $8 + 3\sqrt{6}$