与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ をそれぞれ展開します。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$x^2 - 8x = A$ と置換すると、与えられた式は

$(A+7)(A+15) + 15$

となります。展開すると、

$A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

となります。これを因数分解すると、

$(A+10)(A+12)$

となります。ここで、$A = x^2 - 8x$ を代入すると、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

となります。さらに、$x^2 - 8x + 12$ は因数分解できて、

$x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$

となります。したがって、

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

となります。問題文に誤りがないか確認するため、$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ に具体的な数値を代入して検証します。例えば、$x=0$ を代入すると、

$(-1)(-3)(-5)(-7) + 15 = 105 + 15 = 120$

となります。得られた式 $(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$ に $x=0$ を代入すると、

$(10)(12) = 120$

となり、一致します。

ここで、$(A+10)(A+12) = (x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$ を展開することは、計算が複雑になるため、与えられた式を展開し、整理することを試みます。

$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15 = (x^2 - 4x + 3)(x^2 - 12x + 35) + 15$

$= x^4 - 12x^3 + 35x^2 - 4x^3 + 48x^2 - 140x + 3x^2 - 36x + 105 + 15$

$= x^4 - 16x^3 + 86x^2 - 176x + 120$

この式を因数分解することを考えます。先程の計算より、

$x^4 - 16x^3 + 86x^2 - 176x + 120 = (x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

となります。問題の意図としては、この式を簡単化することだと思います。

$A = x^2 - 8x + 11$ と置換すると、

$(A-1)(A+1) = A^2 - 1 = (x^2 - 8x + 11)^2 - 1 = (x^2 - 8x + 11 - 1)(x^2 - 8x + 11 + 1) = (x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$ または $(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$ または $x^4 - 16x^3 + 86x^2 - 176x + 120$