与えられた分数の分母を有理化し、簡略化された形を求める問題です。問題の式は $\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、簡略化された形を求める問題です。問題の式は $\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うために、分母の共役複素数である $1+\sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}$

分母を展開します。

$(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$

分子を展開します。

$\sqrt{2}(1+\sqrt{3}) = \sqrt{2} + \sqrt{6}$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{-2} = - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$