$\sqrt{4 - \sqrt{15}}$ を簡単にしなさい。

1. 問題の内容

$\sqrt{4 - \sqrt{15}}$ を簡単にしなさい。

2. 解き方の手順

$\sqrt{a} - \sqrt{b}$ の形に変形することを考えます。

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ と仮定します。両辺を2乗すると

$4 - \sqrt{15} = x + y - 2\sqrt{xy}$

この式より

$x + y = 4$

$4xy = 15$, よって $xy = \frac{15}{4}$

$x, y$ は $t^2 - 4t + \frac{15}{4} = 0$ の解です。

両辺に4を掛けると $4t^2 - 16t + 15 = 0$

$(2t - 5)(2t - 3) = 0$

$t = \frac{5}{2}, \frac{3}{2}$

よって $x = \frac{5}{2}$, $y = \frac{3}{2}$

したがって、

$\sqrt{4 - \sqrt{15}} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

分母を有理化すると、

$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$