問題は、xが実数であるという前提のもとで、与えられた命題の真偽を集合を用いて調べるというものです。具体的には、 (1) $|x| < 3$ ならば $x < 3$ (2) $|x| \le 2$ ならば $|x-1| < 3$ の2つの命題の真偽を判定します。

1. 問題の内容

問題は、xが実数であるという前提のもとで、与えられた命題の真偽を集合を用いて調べるというものです。具体的には、

(1) $|x| < 3$ ならば $x < 3$

(2) $|x| \le 2$ ならば $|x-1| < 3$

の2つの命題の真偽を判定します。

2. 解き方の手順

(1) $|x| < 3$ ならば $x < 3$

$|x| < 3$ の意味は $-3 < x < 3$ です。

したがって、集合 $A = \{x \mid |x| < 3\}$ は $A = \{x \mid -3 < x < 3\}$ と表せます。

また、$x < 3$ の集合を $B = \{x \mid x < 3\}$ と表せます。

$A$ が $B$ の部分集合であるかどうかを調べます。

$A$ の要素はすべて $B$ に含まれるので、$A \subset B$ が成り立ちます。

よって、命題は真です。

(2) $|x| \le 2$ ならば $|x-1| < 3$

$|x| \le 2$ の意味は $-2 \le x \le 2$ です。

したがって、集合 $C = \{x \mid |x| \le 2\}$ は $C = \{x \mid -2 \le x \le 2\}$ と表せます。

次に、$|x-1| < 3$ を解きます。これは $-3 < x-1 < 3$ と同値です。

各辺に1を足すと $-2 < x < 4$ となります。

したがって、集合 $D = \{x \mid |x-1| < 3\}$ は $D = \{x \mid -2 < x < 4\}$ と表せます。

$C$ が $D$ の部分集合であるかどうかを調べます。

$C = \{x \mid -2 \le x \le 2\}$ であり、$D = \{x \mid -2 < x < 4\}$ なので、$C$ の要素はすべて $D$ に含まれます。したがって、$C \subset D$ が成り立ちます。

よって、命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 真