$n$ を自然数として、不等式 $|2x-3| < \sqrt{n}$ を考える。 (1) 不等式 $|2x-3| < \sqrt{n}$ を解き、$x$ の範囲を求める。 (2) 不等式 $|2x-3| < \sqrt{n}$ を満たす整数 $x$ の個数を $N$ とする。$n=4$ のとき $N$ の値、および $n=15$ のときの $N$ の値を求める。 (3) (2) で定義された $N$ について、$N=6$ となるような最小の $n$ の値と、最大の $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

$n$ を自然数として、不等式 $|2x-3| < \sqrt{n}$ を考える。

(1) 不等式 $|2x-3| < \sqrt{n}$ を解き、$x$ の範囲を求める。

(2) 不等式 $|2x-3| < \sqrt{n}$ を満たす整数 $x$ の個数を $N$ とする。$n=4$ のとき $N$ の値、および $n=15$ のときの $N$ の値を求める。

(3) (2) で定義された $N$ について、$N=6$ となるような最小の $n$ の値と、最大の $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|2x-3| < \sqrt{n}$ を解く。

絶対値記号を外すと $-\sqrt{n} < 2x - 3 < \sqrt{n}$ となる。

各辺に 3 を加えて $3 - \sqrt{n} < 2x < 3 + \sqrt{n}$。

各辺を 2 で割ると $\frac{3 - \sqrt{n}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{n}}{2}$ となる。

(2) $n=4$ のとき、$x$ の範囲は $\frac{3 - \sqrt{4}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{4}}{2}$ より、

$\frac{3 - 2}{2} < x < \frac{3 + 2}{2}$ となり、$\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2}$ である。

この範囲にある整数 $x$ は 1 と 2 であるから、$N=2$。

$n=15$ のとき、$x$ の範囲は $\frac{3 - \sqrt{15}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ である。

$\sqrt{15}$ は $3 < \sqrt{15} < 4$ より、$\frac{3 - 4}{2} < \frac{3 - \sqrt{15}}{2} < \frac{3 - 3}{2}$

$-\frac{1}{2} < \frac{3 - \sqrt{15}}{2} < 0$

同様に、$\frac{3 + 3}{2} < \frac{3 + \sqrt{15}}{2} < \frac{3 + 4}{2}$

$3 < \frac{3 + \sqrt{15}}{2} < \frac{7}{2} = 3.5$

したがって、$-\frac{1}{2} < x < \frac{7}{2}$ であるから、整数 $x$ は 0, 1, 2, 3 である。よって $N=4$。

(3) $N=6$ となる $n$ の範囲を考える。

$\frac{3 + \sqrt{n}}{2} - \frac{3 - \sqrt{n}}{2} = \frac{2\sqrt{n}}{2} = \sqrt{n}$

整数 $x$ の個数が6個なので、$\frac{3 + \sqrt{n}}{2} - \frac{3 - \sqrt{n}}{2} \approx 6$ となる必要がある。

$\frac{3 - \sqrt{n}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{n}}{2}$

$x$ は整数なので、$m < x < m+5$　（６個）

$\frac{3 - \sqrt{n}}{2} = m - \epsilon$

$\frac{3 + \sqrt{n}}{2} = m + 5 + \epsilon$

$\frac{3 + \sqrt{n}}{2} - \frac{3 - \sqrt{n}}{2} = 5 + 2 \epsilon$

$\sqrt{n} = 5 + 2 \epsilon$, ただし $\epsilon > 0$

$\sqrt{n} \approx 6$

$n=36$ 近辺

$-\frac{1}{2} < \frac{3 - \sqrt{n}}{2} < \frac{1}{2}$

$x = m, m+1, ..., m+5$

$N = 6$

$\frac{3 + \sqrt{n}}{2} - \frac{3 - \sqrt{n}}{2} = 6 \rightarrow \sqrt{n} = 6 \rightarrow n = 36$

この時、範囲は $x \approx -1.5, x \approx 4.5$

よって　-1, 0, 1, 2, 3, 4　N=6

$n$が最小になるのは、$\frac{3-\sqrt{n}}{2}$ が-2より少し大きい時

$n=37: -1.54 < x < 4.54 \rightarrow -1, 0, 1, 2, 3, 4$　個数 =6

$n=36: -1.5 < x < 4.5 \rightarrow -1, 0, 1, 2, 3, 4$　個数 =6

$n=25: -1 < x < 4$

最小値は25です。

$\frac{3 + \sqrt{n}}{2} = 5.5$のとき、

$3 + \sqrt{n} = 11, \sqrt{n} = 8, n = 64$

この時、範囲は -2.5 < x < 5.5

整数は　-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 N=8個

$n=16: -0.5 < x < 3.5$

$N=6$ となるような最大の$n$ は

$\frac{3-\sqrt{n}}{2}$ が$-1+\epsilon$ で $\frac{3+\sqrt{n}}{2}$ が $4+\epsilon$

$N=6$, 最小のnは16, 最大のnは36

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3 - \sqrt{n}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{n}}{2}$

(2) $n=4$ のとき $N = 2$, $n=15$ のとき $N = 4$

(3) $N=6$ となる最小の $n$ の値は $n=16$, 最大の $n$ の値は $n=36$