直線 $3x + 2y - 6 = 0$ に関して、点 $A(3, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $3x + 2y - 6 = 0$ に関して、点 $A(3, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 点 $B$ の座標を $(x, y)$ とします。線分 $AB$ の中点 $M$ は直線 $3x + 2y - 6 = 0$ 上にあるので、中点 $M$ の座標を求めて、直線の方程式に代入します。

$M = \left( \frac{x+3}{2}, \frac{y+1}{2} \right)$ より、

$3 \left( \frac{x+3}{2} \right) + 2 \left( \frac{y+1}{2} \right) - 6 = 0$

$3(x+3) + 2(y+1) - 12 = 0$

$3x + 9 + 2y + 2 - 12 = 0$

$3x + 2y - 1 = 0$

(2) 線分 $AB$ は直線 $3x + 2y - 6 = 0$ と垂直に交わるので、$AB$ の傾きは直線 $3x + 2y - 6 = 0$ の傾きの逆数で符号が反転したものになります。

直線 $3x + 2y - 6 = 0$ の傾きは $- \frac{3}{2}$ なので、$AB$ の傾きは $\frac{2}{3}$ となります。

$AB$ の傾きを式で表すと、$\frac{y-1}{x-3} = \frac{2}{3}$ となります。

$3(y-1) = 2(x-3)$

$3y - 3 = 2x - 6$

$2x - 3y - 3 = 0$

(3) (1) と (2) で求めた連立方程式を解きます。

$3x + 2y - 1 = 0$

$2x - 3y - 3 = 0$

$3x + 2y = 1$ ... (1)

$2x - 3y = 3$ ... (2)

(1) * 2 - (2) * 3 より、

$6x + 4y - (6x - 9y) = 2 - 9$

$13y = -7$

$y = -\frac{7}{13}$

(1) に代入して、

$3x + 2(-\frac{7}{13}) = 1$

$3x - \frac{14}{13} = 1$

$3x = 1 + \frac{14}{13} = \frac{27}{13}$

$x = \frac{9}{13}$

3. 最終的な答え

点 $B$ の座標は $\left( \frac{9}{13}, -\frac{7}{13} \right)$ です。