2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解にそれぞれ1を加えた数を解にもつ2次方程式が $x^2 + bx + a - 6 = 0$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解にそれぞれ1を加えた数を解にもつ2次方程式が $x^2 + bx + a - 6 = 0$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係から

$$\alpha + \beta = -a$$

$$\alpha \beta = b$$

となる。

$x^2 + bx + a - 6 = 0$ の2つの解は $\alpha + 1, \beta + 1$ なので、解と係数の関係から

$$(\alpha + 1) + (\beta + 1) = -b$$

$$(\alpha + 1)(\beta + 1) = a - 6$$

となる。

上記の式を整理する。

$$\alpha + \beta + 2 = -b$$

$$\alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = a - 6$$

$\alpha + \beta = -a$ と $\alpha \beta = b$ を代入すると、

$$-a + 2 = -b$$

$$b - a + 1 = a - 6$$

これらの式を整理すると、

$$a - b = 2$$

$$2a - b = 7$$

2つの連立方程式が得られたので、これを解く。

$2a - b = 7$ から $a - b = 2$ を引くと、

$$(2a - b) - (a - b) = 7 - 2$$

$$a = 5$$

$a - b = 2$ に $a = 5$ を代入すると、

$$5 - b = 2$$

$$b = 3$$

3. 最終的な答え

$a = 5$, $b = 3$