与えられた連立一次方程式 $x_1 - x_3 = 2$ $3x_1 + 3x_2 + x_3 + 2x_4 = 12$ $2x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 7$ を拡大係数行列に帰着し、掃き出し法を適用して解が存在するかどうか調べ、存在すれば解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$x_1 - x_3 = 2$

$3x_1 + 3x_2 + x_3 + 2x_4 = 12$

$2x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 7$

を拡大係数行列に帰着し、掃き出し法を適用して解が存在するかどうか調べ、存在すれば解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、連立一次方程式を拡大係数行列で表します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\ 3 & 3 & 1 & 2 & | & 12 \\ 2 & 1 & -2 & 1 & | & 7 \end{pmatrix}$

次に、掃き出し法を行います。

1. 2行目から1行目の3倍を引きます（$R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$）。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 3 & 4 & 2 & | & 6 \\ 2 & 1 & -2 & 1 & | & 7 \end{pmatrix}$

2. 3行目から1行目の2倍を引きます($R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$）。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 3 & 4 & 2 & | & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 3 \end{pmatrix}$

3. 2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 2 & | & 6 \end{pmatrix}$

4. 3行目から2行目の3倍を引きます（$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$）。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 4 & -1 & | & -3 \end{pmatrix}$

5. 3行目を4で割ります（$R_3 \rightarrow \frac{1}{4}R_3$）。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & | & -\frac{3}{4} \end{pmatrix}$

6. 1行目に3行目を足します（$R_1 \rightarrow R_1 + R_3$）。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} & | & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & | & -\frac{3}{4} \end{pmatrix}$

この行列は以下の式に対応します。

$x_1 - \frac{1}{4}x_4 = \frac{5}{4}$

$x_2 + x_4 = 3$

$x_3 - \frac{1}{4}x_4 = -\frac{3}{4}$

$x_4 = t$ とおくと、

$x_1 = \frac{1}{4}t + \frac{5}{4}$

$x_2 = -t + 3$

$x_3 = \frac{1}{4}t - \frac{3}{4}$

したがって、解は存在します。

3. 最終的な答え

$x_1 = \frac{1}{4}t + \frac{5}{4}$

$x_2 = -t + 3$

$x_3 = \frac{1}{4}t - \frac{3}{4}$

$x_4 = t$

(tは任意の実数)